É possível encontrar rapidamente a soma dos números naturais de 1 a 100? Experimente fazer isso e verá que não é tão fácil.
Existem dispositivos de cálculo chamados figuras numéricas que
ajudam a resolver problemas desse tipo.
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| IMAGEM 01 - Acervo Ludus Schola |
Se fossem dados dez pequenos quadrados, poderíamos ajeitá-los
em diversas figuras, algumas das quais estão ilustradas acima. A quarta figura
é de forma triangular, e cada número que tem a propriedade de ser representado
por uma figura triangular é chamado de número triangular.
Chamaremos a primeira figura de T1, a segunda T2, e assim por
diante. O número 1 é o primeiro na sucessão dos números triangulares. Os demais
são obtidos acrescentando-se novos quadrados ou casas de modo a formar figuras
triangulares cada vez maio res. Aqui estão os cinco primeiros números
triangulares:
Leia também: Números irracionais
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| IMAGEM 02 - Acervo Ludus Schola |
O nosso problema é descobrir T100 , sem fazer a soma inteira. Para isso, notemos o seguinte: tomando-se
duas das formas T5, elas podem ser dispostas de modo a
formar um retângulo, porque encaixam perfeitamente uma na outra. Teremos então:
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| IMAGEM 03 - Acervo Ludus Schola |
Porque o número de quadradinhos do retângulo é 5 x 6 = 30,
que é o dobro do número de casas (15) da figura T5. Cada T5 terá, portanto,
metade do número de casas do retângulo.
Logo:
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| Desenvolvimento designers - Criação Ludus Schola |
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Números quadrados
Os números aqui apresentados têm uma forma quadrada. Consequentemente,
são chamados números quadrados. Por isso se lê 16 = 4² como “dezesseis
igual a quatro ao quadrado”. Pelo mesmo motivo 27 = 3³ é lido como “vinte e
sete igual a três ao cubo”. Agora, vamos somar sequências de números ímpares:
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
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A resposta é sempre um número quadrado, e o diagrama abaixo
explica porquê.
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| Desenvolvimento - Criação Ludus Schola |
Novamente o diagrama explica a razão disso.
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Neste diagrama, os múltiplos de nove foram coloridos,
resultando numa figura de linha reta.
Você percebe por que? O que mais se pode perceber sobre estes
números: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81? Três conclusões são possíveis:
a) a soma dos dígitos em cada múltiplo é 9.
b) os dígitos decimais (primeiro algarismo das dezenas)
aumentam de 1 em 1 desde 18 até 81.
c) as unidades (algarismo final das dezenas) decrescem também
de uma unidade, desde 18 até 81.
Você poderia formular uma regra para multiplicar 9 por
qualquer dígito? Há muitas figuras numéricas para o número 9. Por exemplo:
1 X 9 + 2 = 11
12 X 9 + 3 = 111
123 X 9 + 4 = 1111
etc.
9 X 9 + 7 = 88
98 X 9 + 6 = 888
987 X 9 + 5 = 8888
etc.
Tente explicar porque ocorrem essas figuras numéricas.
Experimente também descobrir a fórmula geral desse cálculo. Marque a cor outras
figuras na tábua de multiplicação ao lado e veja que outras propriedades
numéricas você pode encontrar.
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